E 公司不享有票据质权。根据票据法律制度的规定，双方并未通过票据业务系统进行质押记载，不属于票据质押，E 公司不享有票据质权。

A 公司的主张不成立。

根据票据法律制度的规定，票据贴现属于国家特许经营业务，只有经批准的金融机构才有资格从事票据贴现业务。其他组织与个人从事票据贴现业务的，票据贴现行为（背书转让）无效。在本题中，由于 F 公司并不是有资格从事票据贴现业务的金融机构，D公司对 F 公司的背书转让行为无效，F 公司不能取得票据权利。尽管 F公司未取得票据权利，但是由于其形式上是票据权利人，在其向 G公司背书转让时，符合票据权利善意取得的构成要件，G公司善意取得票据权利，A 公司应当对 G公司承担票据责任。

不会导致其对 B 公司的追索权时效发生中断。

根据票据法律制度的规定，票据时效期间的中止、中断，只对发生时效中止、中断事由的当事人有效，持票人对其他票据债务人的票据时效的计算方法，并不因此而受影响。在本题中，G 公司向 F 公司进行追索，即属于向票据债务人提出履行请求，能够引起 G 公司和 F 公司之间的票据权利时效的中断，但是不会导致其对B公司的追索权时效发生中断。

C 公司可以向 A 公司、B 公司再追索。

根据票据法律制度的规定，保证人清偿汇票债务 后，可以行使持票人对被保证人及其前手的追索权。